设
(1)若f（x）在定义域D内是奇函数，求证：g（x）·g（-x）=1 ；
(2)若g（x）=ax且在[1，3]上，f（x）的最大值是
，求实数a的值
(3)若g（x）=ax 2-x，是否存在实数a，使得f（x）在区间I=[2，4]上是减函数？且对任意的x 1，x 2∈I都有
f(x)＞
，如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。
（1）∵f（x）在定义域D内是奇函数
∴f（x）+f（-x）=0
+
=0即
=0
∴g（x）·g（-x）=1
（2）①若a＞1，则f（x）=
在[1，3]上是增函数，则有f(3)=
∴f（x）=
=
∴a=9
②若0＜a＜1，则在[1，3]上是减函数，则有f(1)=
∴f（x）=
=
，解得：a不存在
综上所述：a=9
（3）①若a＞1时，要满足题设，则有g（x）=ax 2-x在[2，4]上是减函数。
∴而函数g（x）=ax 2-x＞0仅在（-∞，0）上是减函数，
故a＞1不符合题意
另①当a＞1时，可知g（x）=ax 2-x在[2，4]上是增函数，而函数y=
是增函数，故f（x）在区间
I=[2，4]上是增函数，与已知矛盾，舍去。
②若0＜a＜1时，要满足题设，则有g（x）=ax 2-x在[2，4]上是增函数，并且g（x）>0在[2，4]上成立，
∴
<2，∴a>
要对任意的x 1，x 2∈I都有f(x)＞
，只要求f(x)的最小值大于
的最大值即可。
∵f（x）在区间I=[2，4]上是减函数，
∴
=f（4）=
，
的最大值为a 0=1
∴
>1，∴a<
，这与a>
矛盾，舍去
综上所述：满足题设的实数a不存在。