2013 = 3·11·61.
1+2+3+...+n = n(n+1)/2.
若2013 | n(n+1)/2, 则3·11·61 | n(n+1).
首先有61 | n或61 | n+1.
n = 61, 122, 183,...
或n = 60, 121, 182,...
它们除以11的余数依次为
6, 1, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 10,...
5, 0, 6, 1, 7, 2, 8, 3, 9,...
因此要使11 | n或11 | n+1, 最小的几个n为
n = 121, 549,...
再加上3 | n(n+1), 最小的n为549.
易验证n = 549满足2013 | n(n+1)/2, 故最小的n就是549.