Question

设函数f（x）满足：①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）；②对任意m∈R，有f（1+m）

Answer 1

解题思路：（1）由于f（x）不恒为0，故存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，可得f（0），令m=n=1，即得f（1）；

（2）令m=0，n=x，由条件，即可得到奇偶性；

（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，

运用周期，即可得到所求值．

（1）由于f（x）不恒为0，故存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，

则f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）f（0），

则f（0）=1．令m=n=1，则f（2）+f（0）=2f²（1），

又f（0）=f（2），则f²（1）=1，则f（1）=±1，

由已知，f（1）＜1，故f（1）=-1；

（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），

即有f（-x）=f（x），即有f（x）为偶函数；

（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，

则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，

令m=n=[1/3]，f（[2/3]）+f（0）=2f²（[1/3]），即f（[2/3]）+1=2f²（[1/3]），

再令m=[2/3]，n=[1/3]得，f（1）+f（[1/3]）=2f（[2/3]）f（[1/3]），即f（[1/3]）-1=2f（[2/3]）f（[1/3]）．

而f（[2/3]）＜1，解得，f（[1/3]）=[1/2]，f（[2/3]）=-[1/2]，由条件得，f（[1/3]）=f（[5/3]），f（[2/3]）=f（[4/3]），

故f（[1/3]）+f（[2/3]）+…+f（[6/3]）=0，f（x）以2为周期的周期函数，

则f(

1

3)+f(

2

3)+f(

3

3)+…+f(

2017

3)=336×0+f（[2017/3]）=f（[1/3]）=[1/2]．

点评：

本题考点： 函数的周期性；抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查函数的周期性和奇偶性及运用，考查运算能力，考查抽象函数的解决方法：赋值法，属于中档题．