Question

直线 x 4 + y 3 =1 与椭圆 x 2 16 + y 2 9 =1 相交于A、B两点，椭圆上的点P使△PAB的面

Answer 1

由已知可得A（4，0），B（0，3），AB=5，由12=

1

2 AB•h，可得P到AB的距离 h=

24

5 ．

作与AB平行的直线l，使l与椭圆

x 2

16 +

y 2

9 =1 相切，设直线l的方程为

x

4 +

y

3 =k ，

把l的方程代入椭圆方程化简可得 x ²-4kx+8k ²-8=0，由判别式等于0 解得 k=

2 ，或 k=-

2 ，

故直线l的方程为

x

4 +

y

3 =

2 ，或

x

4 +

y

3 = -

2 ．

因为

x

4 +

y

3 =

2 与AB的距离为

|

2 -1|

1

16 +

1

9 =

12(

2 -1)

5 ＜

24

5 ，

x

4 +

y

3 = -

2 与AB的距离为

|-

2 -1|

1

16 +

1

9 =

12(

2 +1)

5 ＞

24

5 ．故这样的点P共有 2个，

故选 B．