Question

如图△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D．

Answer 1

解题思路：（I）根据三角形中两条边相等，得到对应的两个底角相等，证明两个三角形相似，相似三角形对应边成比例，得到比例式，通过等量代换得到要求的等式．

（II）根据有一个顶角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到∠BAC=60°，从而得到∠BAP=90°，即BP是圆的直径，在直角三角形中利用勾股定理得到结果．

（I）证明：连接BP，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB又∠ACB=∠APB，

∴∠ABC=∠APB，

∴△ABP∽△ABD

∴[AB/AP＝

AD

AB]即AB²=AP•AD，

∵AB=AC，

∴AC²=AP•AD

（II）∵∠ABC=60°，AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵P为为弧AC的中点，

∴∠ABP=∠PAC=30°，

∴∠BAP=90°，

∴BP是圆的直径，

∴BP=2，

∴AP=[1/2]BP=1，

在直角三角形PAB中，AB²=BP²-AP²=3，

∴AD=

AB2

AP＝3

点评：

本题考点： 与圆有关的比例线段．

考点点评： 本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似和全等的判断和性质的应用，本题是一个综合题目，解题时注意题目所给的条件比较繁琐，不要用错条件．