Question

设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)＞0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=∫f(x)dx.(左

Answer 1

令g(x)=∫f(t)dt*∫f(t)dt（第一个积分限a到x,第二个积分限x到b）,根据变上限积分的求导法则,g'(x)=f(x)∫f(t)dt（积分限x到b）-f(x)∫f(t)dt（积分限a到x）,由于g(a)=g(b)=[∫f(t)dt]^2（积分限a到b）,根据罗尔定理,存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0,即f(ξ)∫f(t)dt（积分限ξ到b）-f(ξ)∫f(t)dt（积分限a到ξ）,由于f(ξ)>0,上式两边除f(ξ)即得要证的等式.

这种题关键就在于构造辅助函数,一般将要证的式子变形,其中有ξ的地方换成x,为了用罗尔定理,就要让辅助函数在区间端点的函数值相等,且想办法让辅助函数的导函数等于0时的表达式和要证的等式尽可能相似.