Question

已知向量a,b是两个非零向量,当a+b（t∈R）的模取最小值时,（1）求t的值（2）已知a,b共线同向时,求证b与a+t

Answer 1

| a+tb |^2=（a+tb）²＝a^2+t^2b^2+2ta•b

= b^2 t^2+2ta•b+ a^2

看成关于t的一元二次函数,因为t是实数,

当| a+tb |取得最小值时,实数t =-(a•b)/b^2,

当t＝-(a•b)/b^2,

此时,（a+tb）•b＝a•b+t b^2＝a•b -(a•b)/b^2 *b^2

=a•b-a•b＝0,

所以（a+tb）⊥b.