1.
第一次留下的,是2的倍数
第二次留下的,是4的倍数,4=2*2
第三次留下的,是8的倍数,8=2*2*2
.
1--2006中
1024=2^10
所以最后剩下的是原来的第1024张
2.
1）
选1--15号袋子,计算一下奇偶性
2）
选1,2,3,4,5,6,7,8,16,17,18,19,20,21,22号,再计算一下奇偶性
3）
选1,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22号,再计算一下奇偶性
把三次结果相加,得到的奇偶性与第1号的奇偶性相同
因为：除了1号,其余的2--22号,都被加了2次
不管2--22号的奇偶如何,相加2次,都为偶
1号加了3次,奇偶性与1号相同
这样最后的到的奇偶性,就与1号相同
现在只是证明了,提问3次,肯定能判断出1号的奇偶性
严谨一些,还需要证明至少3次,也就是说,少于3次是不行的.
假设只提问两次
1）这两次中,都包括1号
如果两次中,其余的14个都相同,这是没有意义的,两次算出的奇偶性完全相同,不能做出任何判断.所以两次中,至少存在两袋,设为m和n,m只在第一次出现,n只在第二次出现.那么,同时改变1号,m号,和n号的奇偶性,两次的结果是一样的,无法判断1号的奇偶.
2）这两次中,不都包括1号
如果两次都没有1号,结果直接和1号无关,当然无法判断1号的奇偶性.
如果1号只出现了一次,那么必定有一个（设为x号）在第二次没有出现.只要替换1号和x号的两袋的和的奇偶性,与1和x的和的奇偶性相同,还是无法判断1号的奇偶性.
综上,至少需要提问3次.
3.
要杯口全部向下,每个杯子要被翻动奇数次
7只杯子,被翻动的总次数,为7个奇数的和,
还是奇数.
每次翻动4只杯子,不管怎么算,总次数都是4的倍数,
为偶数.
所以不可能做到.