Question

三角形的面积公式S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^0.5 p=(a+b+c)*0.5 是怎样推出来的?

Answer 1

设A,B,C为任意△ABC的三个顶点,则a、b、c为与之对应的三边.S=S△ABC.

∵a²=b²+c²-2bccosA b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC

∴cosA= (b²+c²-a²)/(2bc),cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),

cosC=(a²+b²-c²)/(2ab);

∴S²=(bcsinA/2) ²=b²c²(1-cos²A)/4

=[4b²c²-(b²+c²-a²) ²]/16

=[a²(b²+c²-a²)+b²(a²+c²-b²)+c²(a²+b²-c²)]/16

=[a²(a+b+c)(b+c-a)+ b²(a+b+c)(a+c-b)+c²(a+b+c)(a+b-c)-2abc(a+b+c)]/16···①

=(a+b+c)[a²(b+c-a)+b²(a+c-b)+ c²(a+b-c)-2abc]/16

=(a+b+c)(b+c-a)(a²-b²-c²+2bc)/16···②

=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16···③;

∴S=[(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16]^½ ···④

令p=(a+b+c)/2,得：

S=[p(p-a)(p-b)(p-c)] ^½.

注释：

① 先将括号内配方,然后再化简.如：a²(b²+c²-a²)=a²[(b+c)²-a²-2bc]=a²(a+b+c)(b+c-a)-2a²bc.

② 用长除法分解因式.

③ 同②.

④ X^½表示X的算术平方根.