已知：a*cos²(C/2)+c*cos²(A/2)=3/2b 利用余弦二倍角公式,降幂角加倍可得
a*(1+cosC)/2 + c(1+cosA)/2=3b/2
即,a+c+a*cosC+c*cosA=3b 利用余弦定理,消去cosA,cosC得,
a+c+a* (a²+b²-c²)/2ab + c*(b²+c²-a²)/2bc=3b
化解即可得,2b(a+c) + (a²+b²-c²) + (b²+c²-a²) =6b²
整理后可得,2b(a+c)=4b²,因为a,b,c为三角形的三边,故b≠0,
所以,可得,a+c=2b,即证明得,a,b,c三边成等差数列!
cosB=(a²+c²-b²)/2ac,a+c=2b,b²=(a+c)²/4
所以,cosB=[3/4(a²+c²)-ac/2]/2ac=[3/8(a²+c²)]/ac -1/4
根据均值不等式可得,a²+c²≥2ac,所以可得1/2 ≤ [3/8(a²+c²)]/ac -1/4 < 1
即,1/2 ≤ cosB < 1,
显然,根据三角函数的图像及性质,可得,0< B ≤ ∏/3