Question

设b>a>0,证明存在一个c使a(e^b)+b(e^a)=(1-c)e^c(a-b)成立

Answer 1

对固定的b>a>0,a(e^b)+b(e^a)是一个正实数,设为M_ab.

设函数f(x)=(1-x)e^[x(a-b)],可以看出f(x)是一个连续函数,当x=1时,f(x)=0；

当x0,1-x>0,所以f(x)>0,且当x→－∞时,f(x)→﹢∞.

由于f(x)是连续的,所以在(－∞,1)的区间里必存在一个c使得f(c)=M_ab,

即：a(e^b)+b(e^a)=(1-c)e^[c(a-b)].▅