解题思路：因为集合A中的α，β∈Z且α≥0，β≥0，分别令α=0和β=0，α=1和β=0，α=0和β=1，α=2和β=0，求出对应的x的值，由集合B中x的取值范围，即可求出两集合的交集．
在集合A中：
当α=0，β=0时，x=1；当α=1，β=0时，x=2；当α=0，β=1时，x=3；当α=2，β=0时，x=4；当α=2，β=1时，x=12，…，
由集合B={x|1≤x≤5}，
则实数A∩B={1，2，3，4}．
故答案为：{1，2，3，4}
点评：
本题考点： 交集及其运算．
考点点评： 此题属于以指数函数为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．