保值函数中,由于x∈[a,b]时,f(x)∈[a,b],且f(x)在[a,b]上是单调的,故可以判断出：f(a)=a,f(b)=b或者f(a)=b,f(b)=a
(因为f(x)在[a,b]上单调,所以其最大值最小值必然在两个区间端点取得,即f(a),f(b)是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值(究竟哪一个是最大值,哪一个是最小值并不一定)；而f(x)在[a,b]上值域为[a,b],说明其最小值是a,最大值是b,由此可得上述对应关系)
所以,f(x)必过点(a,a)和点(b,b)或者是(a,b),(b,a)
过(a,a),(b,b)两点可以确定直线y=x;
过(a,b),(b,a)两点可以确定直线y=-x+(a+b)
所以,f(x)的保值区间是由f(x)分别与直线y=x和直线y=x+(a+b)的两个交点之间区域所组成!
1.求y=x^的保值区间,相当于是求
1°当f(x)过点A(a,a)和B(b,b)时：
联立y=x^与y=x,可得出x=0或1,此时y=0或1,显然[0,1]区间是y=x^的单调增区间,故[0,1]满足保值区间的性质,为y=x^的保值区间；
2°当f(x)过点C(a,b)和D(b,a)时：
联立y=x^与y=-x+(a+b),可得方程：x^+x-(a+b)=0 ①
此方程的两根应为a,b,有a+b=-1,将此式带回到方程①：
x^+x+1=0,而x^+x+1=(x+1/2)^+3/4>0,故此方程无实根,故f(x)不存在这种情况下的保值区间
综合两种情况,可知y=x^的保值区间为[0,1]
2.仍然分两种情况讨论：
y=x^+m的单调区间仍然是:(-∞,0]是减区间,[0,+∞)是增区间,根据保值区间性质有：aa≥0 ②
1°当y=x^+m过点(a,a)和(b,b),即y=x^+m与y=x相交时,联立两式,可得方程：
x^-x+m=0,当△=(-1)^-4*1*m>0,即m0,a*b=m,
由a+b>0,知a,b至少有一个大于0,在根据之前的②结论,可知是属于b>a≥0的情况；由a*b=m,可知m≥0
故,此种情况下,y=x^+m存在保值区间的m的取值范围是0≤m0时 ③,方程的两个不同实根a,b满足：
a+b=-1