解题思路：（1）由于四边形ABCO是平行四边形，那么对边AB和OC相等，由此可求出AB的长，由于A、B关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，由此可得到A、B的横坐标，将它们代入抛物线的解析式中即可求出A、B的坐标，也就得到了M点的坐标；
（2）①根据C、M的坐标，易求得OM、OC的长；过Q作QH⊥x轴于H，易证得△HQP∽△OMC，根据相似三角形得到的比例线段，即可求出t、x的函数关系式；
在求自变量的取值范围时，可参考两个方面：一、P、C重合时，不能构成四边形PCMQ；二、Q与B或A重合时，四边形PCMQ是平行四边形；只要x不取上述两种情况所得的值即可；
②由于CM、PQ的长不确定，因此要分类讨论：
一、CM＞PQ，则CM：PQ=2：1，由（2）的相似三角形知OM=2QH，即M点纵坐标为Q点纵坐标的2倍，由此可求得t的值；
二、CM＜PQ，则CM：PQ=1：2，后同一．
（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴A，B的横坐标分别是2和-2，
代入y=
1
4x2+1得，A（2，2），B（-2，2），
∴M（0，2），（2分）
（2）①过点Q作QH⊥x轴，连接MC．
∵CM∥PQ，
∴∠QPC=∠MCO，
∵∠COM=∠PHQ=90°，
∴△HQP∽△OMC，
设垂足为H，则HQ=y，HP=x-t，
由△HQP∽△OMC，得：
y
2]=[x−t/4]，即：t=x-2y，
∵Q（x，y）在y=[1/4x2+1上，
∴t=-
1
2x2+x-2．（2分）
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=-4，解得x=1±
5]，
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±2
∴x的取值范围是x≠1±
5，且x≠±2的所有实数；（2分）
②分两种情况讨论：
（1）当CM＞PQ时，则点P在线段OC上，
∵CM∥PQ，CM=2PQ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（[1/4x2+1），解得x=0，
∴t=-
1
202+0-2=-2；（2分）
（2）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM=
1
2]PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即[1/4x2+1=2×2，
解得：x=±2
3]；（2分）
当x=-2
3时，得t=-
1
2(2
3)2-2
3-2=-8-2
3，
当x=2
3时，得t=2
3-8．
点评：
本题考点： 二次函数综合题；平行四边形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 此题主要考查了平行四边形的性质、抛物线的对称性、梯形的判定和性质以及相似三角形的性质等知识的综合应用能力．