Question

求：利用Taylor公式计算极限(e^xsinx-x(1+x))/（x^3） ,特别是求e^xsinx的过程,

Answer 1

由于分母是3次方,因此做泰勒展开时展到3次方就够用

e^x=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+o(x³)

sinx=x-(1/6)x³+o(x³)

上面两式相乘得：（只计算三次之内的）

e^xsinx=x+x²+[(1/2)-(1/6)]x³+o(x³)

因此

lim[x→0] [e^xsinx-x(1+x)]/x³

=lim[x→0] [x+x²+(1/3)x³+o(x³)-x(1+x)]/x³

=lim[x→0] [(1/3)x³+o(x³)]/x³

=1/3

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