解题思路：（1）先求出其导函数f'（x）=ax2+bx-（2b2+1）a，利用条件把x1=-2，x2=1转化为方程ax2+bx-（2b2+1）a=0的两根，再利用根与系数的关系即可求a，b的值；
（2）先利用其导函数f'（x）=ax2+bx-（2b2+1）a以及a＞0得f（x）在（x1，x2）上单调递减，故有x1≤x≤x2时，f（x）≥f（x2）=f（a）；不等式6f（x）+11a2≥0恒成立⇔6f（a）+11a2≥0①，再利用f'（a）=a3+ba-（2b2+1）a=0即a2=2b2-b+1②，①②相结合即可求实数b的取值范围；
（3）先利用x1，x2是方程ax2+bx-（2b2+1）a=0的两根以及x12+x22=6+4b2得b2=4a2，进而得b=2a，代入得
a
n
＝
4a
f′(n)+2a(
b
2
+1)
＝
4a
a
n
2
+2an−(8
a
3
+a)+8
a
3
+2a
＝
4
n
2
+2n+1
=
4
(n+1)
2
＜
4
n(n+1)
＝4(
1
n
−
1
n+1
)
即可证明结论．
（1）∵函数f(x)＝
a
3x3+
b
2x2−(2b2+1)ax，(a＞0)
∴f'（x）=ax2+bx-（2b2+1）a（2分）
依题意x1=-2，x2=1是方程ax2+bx-（2b2+1）a=0的两根
则−
b
a＝−1，−
(2b2+1)a
a＝−2
解之可得：a＝b＝
2
2（4分）
（2）由（1）f'（x）=ax2+bx-（2b2+1）a＞0得x＞x1或x＜x2
∴f（x）在（x1，x2）上单调递减
∴x1≤x≤x2时，f（x）≥f（x2）=f（a）（5分）
由题f'（a）=a3+ba-（2b2+1）a=0即a2=2b2-b+1（6分）
若x1≤x≤x2，且x2=a，不等式6f（x）+11a2≥0恒成立⇔6f（a）+11a2≥0（7分）
⇔2a4+3ba2-6（2b2+1）a2+11a2≥0⇔2a2+3b-12b2+5≥0⇔2（2b2-b+1）+3b-12b2+5≥0⇔8b2-b-7≤0⇔−
7
8≤b≤1
故实数b的取值范围为[−
7
8，1]（9分）
（3）依题意x1，x2是方程ax2+bx-（2b2+1）a=0的两根，则x1+x2＝−
b
a，x1x2＝−
(2b2+1)a
a
而x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2
∴(−
b
a)2+2
(2b2+1)a
a＝6+4b2∴b2=4a2（10分）
又a＞0，b＞0，
∴b=2a而f'（n）=an2+bn-（2b2+1）a=an2+2an-（8a3+a）
∴an＝
4a
f′(n)+2a(b2+1)＝
4a
an2+2an−(8a3+a)+8a3+2a＝
4
n2+2n+1（11分）
Tn＝
4
22+
4
32+
4
42++
4
(n−1)2+
4
n2+
4
(n+1)2
＜4[
1
1×2+
1
2×3+
1
3×4++
1
(n−2)(n−1)+
1
(n−1)n+
1
n(n+1)]
＝4[(1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+(
1
3−
1
4)++(
1
n−2−
1
n−1)+(
1
n−1−
1
n)+(
1
n−
1
n+1)]
＝4(1−
1
n+1)＜4(14分)
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；数列的求和．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及导数在最大值、最小值问题中的应用和数列的求和问题，是对知识的综合考查，属于难题．