Question

设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+x）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先求出函数的定义域，再求出其导函数，令导函数大于0得到增区间，小于0得到减区间，考虑自变量取值最后得到单调区间即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出函数的最值，不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立意思是f（x）_max≤-m²+2m+e²，f（x）_min≥m，求出解集得到m的整数解即可；（Ⅲ）在[0，2]，由f（x）=x²+x+a和条件f（x）=x²+2x-2ln（1+x）相等得到x²+x+a=x²+2x-2ln（1+x）即x-a-2ln（1+x）=0，然后令g（x）=x-a-2ln（1+x），求出其导函数，由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1．g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．得到g（0）和g（2）都大于等于0，g（1）小于零，列出不等式组，求出解集即可a的范围．

解析：（Ⅰ）由1+x＞0得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

f′(x)＝2x+2−

2

x+1＝

2x(x+2)

x+1．

由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0，

∴函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

e−1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．

∴f（x）_min=f（0）=0

又∵f(

1

e−1)＝

1

e2+1，f（e-1）=e²-3，且e2−3＞

1

e2+1，

∴x∈[

1

e−1，e−1]时，f（x）_max=e²-3．

∵不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立，

∴

−m2+2m+e2≥f(x)max

m＜f(x)min，

即

−m2+2m+e2≥e2−3

m＜0⇒

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数与方程的综合运用．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会求不等数恒成立的条件，以及函数与方程的综合运用能力．