Question

已知点C是线段AB上任意一点,且△ADC、△CEB是等边三角形,连接BD、AE且交点为F,求证AF×AE+BF×BD=A

Answer 1

延长AD,BE交于一点G,而△ABG为等边三角形,设△ADC边长为a,△CEB边长b,所以△ABG边长为a+b

由于这个图形的性质,我们可以容易证明△DCB≌△ACE （SAS）

所以∠EAB+∠DBA=60°

所以∠DFA=∠EFB=∠EAB+∠DBA=60°

所以△ADF∽△AEG,所以可得AF/AG=AD/AE => AF×AE=AD×AG=a×(a+b)

同理可得△BEF∽△BDG,所以BF/BG=BE/BD =>BF×BD=BE×BG=b×(a+b)

所以AF×AE+BF×BD=(a+b)^2=AB²

证毕.