已知抛物线C:y=2x平方,直线y=kx+2交C于A、B两点,M是线段AB的中点,过M做x轴的垂线交C于点N.证明:抛物

1个回答

  • (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>x2(点A在点B右侧)

    将y=kx+2代入y=2x?,整理得

    2x?-kx-2=0

    ∴x1+x2=k/2,x1x2=-1.

    ∵M是线段AB的中点,M的横坐标为(x1+x2)/2=k/4,而MN⊥x轴

    ∴N的横坐标为k/4

    对函数y=2x?求导,得 y'=4x

    所以,抛物线在N点出的切线斜率k'=4×k/4=k

    故 抛物线C在N点处的切线斜率与AB的斜率相等

    即 抛物线C在点N处的切线于AB平行 .

    (2)假设存在这样的k

    设N(x0,y0),由第一问得x0=k/4,y0=2x0?=k?/8.

    ∵向量NA·向量NB=(x1-x0,y1-y0)·(x2-x0,y2-y0)=0

    ∴(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.①

    又y1y2=2x1?·2x2?=4(x1x2)?=4,y1+y2=2x1?+2x2?=2(x1+x2)?-4x1x2=(k?/2)+4

    所以,可将①式整理为

    k^4+12k?-64=0

    解得k?=4或k?=-16(舍)

    故存在k=±2满足题意.