Question

如图，在直角坐标系内，过点C（3，6）分别作x轴和y轴的垂线CB和CA，垂足分别为B和A，点P从点O沿OB向B以1个长度

Answer 1

解题思路：（1）可设OP=t，BQ=2t，则有PB=OB-OP=3-t．根据三角形的面积公式得出关于t的方程，即可求出此时t的值；

（2）分为①若△PBQ∽△ACB；②若△PBQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质即可求出P和Q点的坐标．

（1）根据题意有OB=3，BC=6

∵OP=t，BQ=2t

∴PB=OB-OP=3-t（2分）

∴S_△PBQ=[1/2]PB•BQ=[1/2]•2t（3-t）=-t²+3t

当S_△PBQ=2时，-t²+3t=2，即t²-3t+2=0（t-1）（t-2）=0

∴t₁=1，t₂=2（4分）

∴当t=1或t=2时，△PBQ的面积等于2个平方单位．

（2）∵∠ACB=∠PBQ=90°

①若△PBQ∽△ACB

则[BP/CA]=[BQ/CB]即[3−t/3]=[2t/6]

∴t=[3/2]

此时P点坐标为P（[3/2]，0），Q点坐标为Q（3，3）（7分）

②若△PBQ∽△BCA

则[BP/CB]=[BQ/CA]即[3−t/6]=[2t/3]

∴t=[3/5]

此时P点坐标为P（[3/5]，0），Q点坐标为Q，3，[6/5]）（10分）

∴若P、B、Q三点构成的三角形与A、B、C三点构成的三角形相似，此时P和Q

点的坐标分别为P（[3/2]，0），Q（3，3）或P（[3/5]，0），Q（3，[6/5]，3）．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积．

考点点评： 本题主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的性质，要注意的是（2）中，要根据P点和Q点的不同位置进行分类求解．