Question

已知四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面是边长为1的正方形，侧棱垂直底边ABCD四棱柱，AA 1 =2

Answer 1

（1）连接B ₁D ₁、D ₁E，

∵正四棱柱ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中，B ₁B ∥ D ₁D且B ₁B=D ₁D

∴四边形BB ₁D ₁D是平等四边形

因此B ₁D ₁∥ BD，可得∠EB ₁D ₁或其补角就是异面直线BD与B ₁E所成角

∵AA ₁=2AB=2，∴B ₁D ₁=ED ₁=B ₁E=

2 ，得△B ₁D ₁E是等边三角形，∠EB ₁D ₁=60°

由此可得，异面直线BD与B ₁E所成角的大小为60°；

（2）根据题意，得 V 正四棱柱ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 =S _{正方形ABCD}×AA ₁=2

∵ V 三棱锥B-AC B 1 = V 三棱 锥 A 1 -A B 1 D 1 = V 三棱 锥 C 1 -C B 1 D 1 = V 三棱 锥 D -A C D 1 =

1

3 ×

1

2 ×1×1×2=

1

3

∴四面体AB ₁D ₁C的体积为

V= V 正四棱柱ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 -（ V 三棱 锥 B -A C B 1 + V 三棱 锥 A 1 -A B 1 D 1

+ V 三棱 锥 C 1 -C B 1 D 1 + V 三棱 锥 D -A C D 1 ）=2-

4

3 =

2

3