（1）∵双曲线y=
k
x 经过点D（6，1），
∴
k
6 =1，
解得k=6；
（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，
∴BD=6，
∴S △BCD=
1
2 ×6•h=12，
解得h=4，
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1-4=-3，
∴
6
x =-3，
解得x=-2，
∴点C的坐标为（-2，-3），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则
-2k+b=-3
6k+b=1 ，
解得
k=
1
2
b=-2 ，
所以，直线CD的解析式为y=
1
2 x-2；
（3）AB ∥ CD．
理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为（c，
6
c ），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（c，0），B（0，1），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则
mc+n=0
n=1 ，
解得
m=-
1
c
n=1 ，
所以，直线AB的解析式为y=-
1
c x+1，
设直线CD的解析式为y=ex+f，
则
ec+f=
6
c
6e+f=1 ，
解得
e=-
1
c
f=
c+6
c ，
∴直线CD的解析式为y=-
1
c x+
c+6
c ，
∵AB、CD的解析式k都等于-
1
c ，
∴AB与CD的位置关系是AB ∥ CD．