Question

（2006•上海模拟）已知：二次函数y=-（x-h）2+k图象的顶点P在x轴上，且它的图象经过点A（3，-1），与y轴相

Answer 1

解题思路：（1）根据二次函数y=-（x-h）²+k图象的顶点P在x轴上即可求出k的值；

（2）首先根据二次函数y=-（x-h）²的图象经过点A（3，-1），求出P点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；

（3）点P的坐标为（2，0），点A的坐标为（3，-1），点B的坐标为（0，-4），求出BP、AP、AB的长度，利用勾股定理逆定理证明∠BAP=90°，进而求出∠PBA的正弦值．

（1）∵二次函数y=-（x-h）²+k图象的顶点P在x轴上，

∴k=0．

（2）∵二次函数y=-（x-h）²的图象经过点A（3，-1），

∴-1=-（3-h）²．

∴h₁=2，h₂=4．

∴点P的坐标为（2，0）或（4，0）．

（i）当点P的坐标为（2，0）时，

∵一次函数y=ax+b的图象经过点P和点A，

∴

0＝2a+b

−1＝3a+b 解得

a＝−1

b＝2 ，

（ii）当点P的坐标为（4，0）时，

∵一次函数y=ax+b的图象经过点P和点A，

∴

0＝4a+b

−1＝3a+b 解得

a＝1

b＝−4，

∵一次函数的图象与y轴的正半轴相交，

∴

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键掌握二次函数的性质，待定系数求解析式和勾股定理逆定理的应用，此题难度不是很大，是一道不错的习题．