（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2
；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2
，
∴∠COH=60°，OH=
，CH=3，
∴C点坐标为（
，3）；
（2）∵抛物线y=ax 2+bx（a≠0）经过C（
，3）、
A（2
，0）两点，
∴
，解得：
；
∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x 2+2
x；
（3）存在．
因为y=﹣x 2+2
x的顶点坐标为（
，3），即为点C，
MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=
t，
∴P（
t，t）；
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E，
把x=
t代入y=﹣x 2+2
x，得y=﹣3t 2+6t，
∴M（
t，﹣3t 2+6t），E（
，﹣3t 2+6t），
同理：Q（
，t），D（
，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，
即3﹣（﹣3t 2+6t）=t﹣1，解得：t=
，t=1（舍），
∴P点坐标为（
，
），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，
此时P点坐标为（
，
）．