Question

已知函数f（x）=ln[x/2]-f′（1）x+1，x∈（0，+∞）．

Answer 1

解题思路：（1）求出导数，令x=1，x=2，即可得到；

（2）求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极值；

（3）分别求出f（x），g（x）的值域，再由题意可得它们存在包含关系，解不等式即可得到范围．

（1）∵f′(x)=

1

x-f′(1)，

∴f'（1）=1-f'（1），f′(1)=

1

2，

则f′(2)=

1

2-

1

2=0；

（2）由（1）知f(x)=ln

x

2-

1

2x+1，导数 f′(x)=

1

x-

1

2=

2-x

2x．

∴当x＞2时，f'（x）＜0，当0＜x＜2时，f'（x）＞0．

∴f（x）的单调递增区间为（0，2），

单调递减区间为（2，+∞），极大值为f（2）=0；

（3）∵g'（x）=2x-3a（a≥1），

∴当x∈（0，1）时，g'（x）=2x-3a＜0，g（x）单调递减，

此时g（x）值域为（2a²-3a-4，2a²-5）．

由（1）得，当x∈（0，2）时，f（x）值域为（-∞，0），

由于对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，

即有（2a²-3a-4，2a²-5）⊆（-∞，0），

即2a²-5≤0，所以1≤a≤

10

2．

点评：

本题考点： A:利用导数研究函数的单调性 B:利用导数研究函数的极值

考点点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查恒成立和存在性问题，注意转化为求函数的最值或值域问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．