过定点P(0,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程为______.

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  • 解题思路:设直线l的斜率等于k,则当 k=0时,直线l与陪我想的对称轴平行,所以此时直线与抛物线只有有关公共点.再讨论直线与抛物线相切的情况,注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论.

    ①设直线l的斜率等于k,则当 k=0时,直线l的方程为 y=1,满足直线与抛物线y2=2x仅有一个公共点,

    当k≠0时,直线l是抛物线的切线,设直线l的方程为 y=kx+1,

    代入抛物线的方程可得:

    k2x2+(2k-2)x+1=0,根据判别式等于0,求得 k=[1/2],故切线方程为 y=[1/2]x+1.

    ②当斜率不存在时,直线方程为x=0,经过检验可得此时直线也与抛物线y2=2x相切.

    故答案为:y=1,或 x=0,或 x-2y+2=0.

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质.

    考点点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握只有一个公共点的概念,即直线与抛物线相切或者直线与抛物线的对称轴平行.