1、这类题简单解法.过原点,就是把（0,0）带入函数,可以得到c=0,顶点（1,1）可以设抛物线为y=a(x-1)²+1,展开y=ax²-2ax+a+1,和ax²＋bx+c恒等,可以得到a+1=c=0,a=-1.b=-2a=2.所求抛物线解析式为y=-x²+2x.
2,先弄清几个点.F（1,3／4）不在曲线上.M点坐标设为（m,5／4）,P点和M点横标一样,P（m,-m²＋2m）,PM的中点N在以MP为底边等腰的三角形中很特殊,N的纵标和F的纵标一样,就是3／4,同时N是MP中点,M的纵标+P的纵标=2N的纵标,即5／4+P的纵标=2×3／4,
P的纵标=1／4,可得出P的横标=1+√3／2.要想证明三角形为正三角形,只要证明FP=PM就行.MP=5／4-1／4=1,FP=√[（3／4-1／4）²＋（1-1-√3／2）²]=1.所以FP=PM=MF=1,这是一个正三角形.
3、先设存在,P(m,-m²+2m).N(1,t),M(m,5／4)
PM²=（-m²＋2m-5／4）²
PN²=(m-1)²+(-m²+2m-t)²
二者相等得1.5m²-3m+9／16=t²+(2m²-4m)t
显然t=3／4时上式成立.故所求点存在为（1,3／4）.