Question

已知f1(x)=e^xsinx,fn(x)= fn-1'(x),n≥2,求f1(0)+f2(0)

Answer 1

f1(x)=e^xsinx f1(0)=0

f2(x)=f1'(x)=(e^xsinx)'=e^x(sinx+cosx) f2(0)=1

f3(x)=[e^x(sinx+cosx)]'=2e^xcosx f3(0)=2

f4(x)=(2e^xcosx)'=2e^x(cosx-sinx) f4(0)=2

f5(x)=-4e^xsinx f5(0)=0

f6(x)=f5'(x)=(-4e^xsinx)'=-4e^x(sinx+cosx),f6(0)=-4f2(0).每四项和,成等比数列,且公比为-4

前四项的和为5,再下面为-20,80,.

2011/4=502.3,第502项为-20*(-4)^(501),

第503项为5*(-4)^(502),但最后只有3项和为5*(-4)^(502)*3/5=3*(-4)^(502),

f1(0)+f2(0)+f3(0)+ ……f2011(0)=5(1-(-4)^(502))/(1-(-4))+3*(-4)^(502),

=4^502-1+3*4^502=4^503-1.

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