由绝对值的几何意义知∣x-1∣表示x到1的距离,∣x-2∣表示x到2的距离.
例1、如上图,设点A,点B表示1,2,点C表示x,点C可移动.
当点C在A的左侧时,∣x-1∣＝CA,∣x-2∣＝CB>1；
当点C在A的右侧时,∣x-1∣＝CA>1,∣x-2∣＝CB；
当点C在A、B之间时,∣x-1∣＝CA,∣x-2∣＝CB；有CA+CB＝AB＝1.
显然,要使∣x-1∣+∣x-2∣最小,点C应在点A与点B两点之间,即1≤x≤2.
这时,∣x-1∣+∣x-2∣＝（x-1）+［－（x-2）］＝x－1+2－x＝1
2、 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣的最小值.
根据绝对值的几何意义知,∣x-1∣,∣x-2∣,∣x-3∣分别表示x到1,x到2,x到3的距离.
由例1的分析知,∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣是在x处于1和3之间（包括1和3）时有最小值,即当1≤x≤3时. 又因为2处于1和3之间,所以∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣的最小值是在∣x-1∣+∣x-3∣取最小值的基础上∣x-2∣取最小值,即∣x-2∣＝0,则x＝2.
这时,∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣＝∣2-1∣+∣2-2∣+∣2-3∣＝2
3 、求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣的最小值.
根据绝对值的几何意义知,∣x-1∣,∣x-2∣,∣x-3∣,∣x-4∣分别表示x到1,x到2,x到3 ,x到4的距离.
由例1的分析知,∣x-1∣+∣x-4∣是在1≤x≤4之间有最小值,∣x-2∣+∣x-3∣是在2≤x≤3之间有最小值.
所以∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣是在2≤x≤3之间有最小值.
这时,∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣＝x-1+x-2+［－（x-3）］+［－（x-4）］=4.