Question

设A是三阶方阵,如果已知|E3＋A|＝0,|2E3＋A|＝0,|E3－A|＝0.求行列式|E3+A+A²|的值

Answer 1

记得|AB|=|A||B|

三个特征值不同,所以存在基础矩阵P

使得D=P^(-1)AP=[-1 0 0;0 -2 0; 0 0 1]

且|P|=|P^(-1)|=1

|E3+A+A²|

=|P|^(-1)|E3+A+A²||P|

=|E3+P^(-1)AP+P^(-1)APP^(-1)AP| 注意PP^(-1)=E3

=|E3+D+D^2|

=det([1 0 0;0 1 0; 0 0 1]+[-1 0 0;0 -2 0; 0 0 1]+[1 0 0;0 4 0; 0 0 1])

=det([1 0 0;0 3 0; 0 0 3])

=1*3*3=9