求经过A(0,-1)和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上的圆的方程.

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  • 解题思路:根据圆心在直线y=-2x上,设出圆心坐标和半径,写出圆的标准方程,把点A的坐标代入圆的方程得到一个关系式,由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y=1的距离,让距离等于圆的半径列出另一个关系式,两者联立即可求出圆心坐标和半径,把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程.

    因为圆心在直线y=-2x上,设圆心坐标为(a,-2a)(1分)

    设圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=r2(2分)

    圆经过点A(0,-1)和直线x+y=1相切,

    所以有

    a2+(2a−1)2=r2

    |a−2a−1|

    2=r(8分)

    解得r=

    2,a=1或a=[1/9](12分)

    所以圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-[1/9])2+(y+[2/9])2=[50/81].(14分)

    点评:

    本题考点: 圆的标准方程.

    考点点评: 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值,掌握直线与圆相切时满足的条件,会利用待定系数法求圆的标准方程,是一道中档题.