解题思路：（1）先求导函数
f′(x)＝
x
1
p
−1
−1
，从而可确定函数在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，从而函数在x=1时，取得最大值，即可求解；
（2）利用（1）中的最大值可得不等式
p
x
1
p]−x−p+1≤0．设
x＝
a
p
b
q
，代入不等式，再利用
1
p
+
1
q
＝1
，即可证得．
（1）f′(x)＝x
1
p−1−1．∵[1/p−1＜0，∴由f'（x）=0，得x=1．
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 -
f（x） ↗ 极大 ↘又f（1）=p-1，所以f（x）≤f（1），即f（x）的最大值为p-1．
（2）由（1）得px
1
p]−x−p+1≤0．
设x＝
ap
bq，则p•
a
b
q
p−
ap
bq−p+1≤0，即[a
b
q/p]−
1
p•
ap
bq−1+
1
p≤0，
∴[a
b
q/p]−
1
p•
ap
bq≤1−
1
p＝
1
q，
∴[a
b
q/p]≤
1
p•
ap
bq+
1
q
∴abq−
q
p≤
ap
p+
bq
q，
将[1/p+
点评：
本题考点： 不等式的证明；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的最值，同时考查了不等式的证明，解题的关键是利用（1）的结论构造不等式，利用换元法求解．
1年前
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