(2005•上海)已知:如图,圆O是△ABC的外接圆,圆心O在这个三角形的高CD上,E、F分别是边AC和BC的中点,求证

1个回答

  • 解题思路:由垂径定理知,点D是AB的中点,有AD=BD,可证△CAD≌△CBD,可得AC=BC;由E,F分别为AC,BC的中点,D为AB中点,得DF=CE=[1/2]AC,DE=CF=[1/2]BC,即DE=DF=CE=CF,从而可得四边形CEDF为菱形.

    证明:∵AB为弦,CD为直径所在的直线且AB⊥CD,

    ∴AD=BD,

    又∵CD=CD,

    ∴△CAD≌△CBD,

    ∴AC=BC;

    又∵E,F分别为AC,BC的中点,D为AB中点,

    ∴DF=CE=[1/2]AC,DE=CF=[1/2]BC,

    ∴DE=DF=CE=CF,

    ∴四边形CEDF为菱形.

    点评:

    本题考点: 菱形的判定;三角形中位线定理;三角形的外接圆与外心.

    考点点评: 本题考查了垂径定理、三角形全等、三角形中位线的性质以及菱形的判定.