首先,如二楼所说,你的意思因该是“k重特征值能不能有k＋1个线性无关的特征向量”,注意叙述,否则如果a是特征向量的话,2a,3a,4a.都是特征向量,就变成无数个了.
其次回答你的问题：不能!
设矩阵A为n阶矩阵,A不能对角化,说明A的Jondan标准型中,至少有一个二阶以上的Jondan块,不妨假设特征值x1是一个二重特征根,对应有一个二阶Jondan块,其余特征值为x2,x3,.
设A的Jondan标准型为：
J=
x1 1 0 0 0 ...0
0 x1 0 0 0 ...0
0 0 x2 0 0 ...0
0 0 0 x3 0 ...0
...
0 0 0 0 0 ...xn-1
于是A=P^(-1)JP,其中P为可逆阵
考察矩阵(A-x1I)
A-x1I
=P^(-1)JP-x1I
=P^(-1)[J-x1I]P
所以rank(A-x1I)=rank(J-x1I)
J-x1I=
0 1 0 0 0 ...0
0 0 0 0 0 ...0
0 0 x2-x1 0 0 ...0
0 0 0 x3-x1 0 ...0
...
0 0 0 0 0 ...xn-1 - x1
rank(J-x1I)=n-1=rank(A-x1I)
对应于特征值x1的特征向量就是方程(A-xI)=0的解,系数矩阵秩为n-1,方程个数为n,所以基础解系只有一个解向量.
这个例子里,二重特征根只有一个线性无关的特征向量.
可以看到,k重特征根的线性无关的特征向量数,就是取决于Jondan标准型的状态.例如：一个5重特征根.
如果对应于一个5阶Jondan块,那么线性无关的特征向量有1个.
如果对应于一个2阶Jondan块和一个3阶Jondan块,那么线性无关的特征向量有2个.
...
如果对应于5个1阶Jondan块,那么线性无关的特征向量有5个.其实这时就是可对角化了,因为没有2阶以上Jondan块.