Question

已知函数f（x）=[1/3]x3-x2-4x+1，直线l：x+y+2k-1=0，当x∈[-3，3]时，直线l恒在函数f（

Answer 1

解题思路：命题等价于x在（-3，3）内，（13x3-x2-4x+1）-（-x-2k+1）＞0恒成立，即k＞-16x3+12x2+32x，由此利用导数性质能求出结果．

命题等价于x在（-3，3）内，

（[1/3]x³-x²-4x+1）-（-x-2k+1）＞0恒成立，

即k＞-[1/6]x³+[1/2]x²+[3/2]x，

设y=-[1/6]x³+[1/2]x²+[3/2]x，

y'=-[1/2]x²+x+[3/2]=[1/2]（3-x）（1+x）

由y′＞0，得-1＜x＜3；由y′＜0，得-3＜x＜-1，

∴在[-3，-1）内y递减，（-1，3]内y递增，

所以x=-1，y取最小值，

又y|_x=-3=[9/2]，y|_x=3=[9/2]，

∴y_max=[9/2]．∴k＞[9/2]．

故选：D．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．