Question

设函数f（x）的定义域为（0，+∞）．对任意的x＞0，y＞0．都有f(xy)＝f(x)−f(y)恒成立，且当x＞1时，f

Answer 1

解题思路：（1）由题意给式中的x，y特殊的值可得f（1）的值；（2）由单调性的定义结合题干可证函数的单调性；（3）由条件和结论，可找到对数函数y=log2x符合题意．

（1）由题意，令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），

所以所求的值为：f（1）=0

（2）设0＜x₁＜x₂，令x=x₁，y=x₂，

则f(

x2

x1)＝f(x2)−f(x1)，∵0＜x₁＜x₂，

∴

x2

x1＞1，∴f(

x2

x1)＞0，

∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）

∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数

（3）由条件和结论，可找到函数y=log₂x符合题意．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题为抽象函数问题，解决问题的关键是利用好函数的性质，属中档题．