Question

定义在R上的偶函数f（x-2），当x＞-2时，f（x）=ex+1-2（e为自然对数的底数），若存在k∈Z，使方程f（x）

Answer 1

解题思路：由偶函数f（x-2）可得函数y=f（x）的图象关于=-2对称，结合函数f（x）=e^x+1-2在（-2，+∞）单调递增，且f（-1）＜0，f（0）=e-2＞0可知，函数f（x）=e^x+1-2在（-1，0）上存在零点

由函数图象的对称性可知，当x＜-2时，存在唯一零点x∈（-5，-4），从而可求k

∵偶函数f（x-2）的图关于y轴对称

∴函数y=f（x）的图象关于x=-2对称

∵当x＞-2时，f（x）=e^x+1-2

∵f（x）=e^x+1-2在（-2，+∞）单调递增，且f（-1）＜0，f（0）=e-2＞0

由零点存在定理可知，函数f（x）=e^x+1-2在（-1，0）上存在零点

由函数图象的对称性可知，当x＜-2时，存在唯一零点x∈（-4，-3）

由题意方程f（x）=0的实数根x₀∈（k-1，k），则k-1=-4或k-1=-1

k=-3或k=0

故选D

点评：

本题考点： 指数函数综合题；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查的知识点是偶函数图象对称性质的应用，根的存在性及根的个数判断，方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键．