Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n（n∈N*），求数列{an}通

Answer 1

解题思路：根据a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），再写一式，两式相减，化简可得{S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列，求出S_n=2ⁿ⁺¹-2，即可得到结论．

∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），①

∴当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②

①-②得na_n=（n-1）S_n-（n-2）S_n-1+2

∴na_n=n（S_n-S_n-1）-S_n+2S_n-1+2

∴na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2．

∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，

∴S_n+2=2（S_n-1+2）．

∵S₁+2=4≠0，∴S_n-1+2≠0，

∴{S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．

∴S_n+2=2ⁿ⁺¹，

∴S_n=2ⁿ⁺¹-2，

∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，

n=1时，a₁=S₁=2，也满足上式，

∴a_n=2ⁿ．

点评：

本题考点： 数列递推式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．