已知抛物线y²=x上存在两点关于直线l:y=k(x-1)+1对称,求实数k的取值范围

1个回答

  • 直线l:y=k(x-1)+1过点(1,1),该点在抛物线上(k显然不为0)

    设抛物线上有这样的两个不同的点A、B,满足条件

    设A的坐标为(t1²,t1) B的坐标为(t2²,t2),其中,t1²不等于t2²,

    由于两点关于直线l:y=k(x-1)+1对称,则

    (t1-t2)/(t1²-t2²)=-1/k,

    得k=-(t1+t2)

    又有(1-t1)²+(1-t1²)²=(1-t2)²+(1-t2²)²

    (根据(1,1)这点到两点的距离相等)

    化简得:(t1²+t2²)(t1+t2)-(t1+t2)-2=0

    即:-(t1²+t2²)k+k-2=0

    t1²+t2²=1-2/k

    由于2(t1²+t2²)>(t1+t2)²=k²,

    故有1-2/k>k²/2

    当k>0时,k^3-2k+4