Question

求证f(n+1)*f(n-1)-f(n)*f(n) = （-1）^n,f(n)是费波纳茨数列

Answer 1

用数学归纳法：

首先：n=1,2,3时容易知道 f（1）,f（2）,f（3）为斐波那契数列,

假设 n=k 使 f(k+1)=f(k)+f(k-1) 成立时 n=k+1 使 f(k+2)=f(k)+f(k+1)也成立就可以了

证明：

把f(k+1)=f(k)+f(k-1)代到题目的试子里有f(k-1)*f(k-1)+f(k-1)*f(k)=f(k)*f(k)+（-1）^k 记为 1 试

由题意知

f(k+2)=[f(k+1)*f(k+1) +（-1）^(k+1)]/f(k)

=[f(k)*f(k)+f(k-1)*f(k-1)+2f(k-1)*f(k)+（-1）^(k+1)]/f(k) (这里把f(k+1)=f(k)+f(k-1) 代入)

=[2f(k)*f(k)+f(k-1)*f(k) ]/f(k)

=2f(k)+f(k-1)

=f(k+1)+f(k)

证毕.