若函数f(x)=-x2+2ax+1+a在区间[0,2]上最大值为5,求实数a的值.

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  • 解题思路:先求对称轴,比较对称轴和区间的关系,利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题.

    f(x)=-x2+2ax+1+a,其对称轴是 x=a(2分)

    (1)当a<0时,则f(x)在[0,2]上是减函数

    ∴当x=0时,f(x)max=f(0)=5

    故a=-4<0 (5分)

    (2)当0≤a≤2时,则f(x)max=f(0)=5

    故a=

    1

    17

    2∉[0,2](8分)

    (3)当a>2时,则f(x)在[0,2]上是增函数

    ∴f(x)max=f(2)=5

    故a=[8/3>2 (11分)

    综上所述,a=-4或a=

    8

    3] (12分)

    点评:

    本题考点: 二次函数在闭区间上的最值.

    考点点评: 此题是个中档题.本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题.关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题,一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论,如轴在区间左边,轴在区间右边,轴在区间中间,最后在综合归纳得出所需结论