Question

对于n∈N×，抛物线y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1与x轴相交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离

Answer 1

解题思路：根据函数抛物线方程令y=0求得x的关系式，代入两点间的距离公式可得到|A_nB_n|的关系式，然后代入到|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₉B₂₀₀₉|中即可得到答案．

y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=[x-[1/n]][x-[1/n+1]]

令y=0，则x=[1/n]或 [1/n+1]

∴|A_nB_n|=[1/n]-[1/n+1]

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₉B₁₉₉₉|=（1-[1/2]）+（ [1/2]-[1/3]）+…+（ [1/2009]-[1/2010]）

=（1-[1/2]+[1/2]-[1/3]）+…+（ [1/2009]-[1/2010]）

=1-[1/2010]=[2009/2010]．

故选D

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要考查数列求和的累加法、变形的技巧，可以之训练答题者观察探究的能力与意识．