Question

（2013•内江二模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，对任意a，b∈R，a⊕b为唯一确定的实数且具有性质：

Answer 1

解题思路：对于新定义的运算问题常常通过赋值法得到一般性的结论，本题的关键是对f（x）的化简．

在（3）中，令c=0，则a⊕b=ab+a+b，所以f（x）=x²⊕

1

x2=x2•

1

x2+x2+

1

x2=1+x2+

1

x2．

则f(x)＝1+x2+

1

x2≥1+2

x2•

1

x2＝3，所以命题（1）正确；

由f(−x)＝1+(−x)2+

1

(−x)2＝1+x2+

1

x2＝f(x)，则函数f（x）为偶函数，所以命题（2）不正确；

而f′(x)＝2x−

2

x3＝

2(x2+1)(x+1)(x−1)

x3，由此可知函数的增区间为（-1，0），（1，+∞），

所以命题（3）正确．

故答案为（1）（3）．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力，是基础题．