证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，（2分）
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP⊥CQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，（4分）
在△BCQ和△CDP中，
∠B=∠PCD
BC=CD
∠1=∠3 ．
∴△BCQ≌△CDP．（5分）
（2）连接OB．
（6分）
由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，（7分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
而点O是AC中点，
∴ BO=
1
2 AC=CO，∠4=
1
2 ∠ABC=45°=∠PCO ，（9分）
在△BOQ和△CDP中，
BQ=CP
∠4=∠PCO
BO=CO ．
∴△BOQ≌△COP，
∴OQ=OP．（10分）