Question

（2011•东台市二模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．

Answer 1

解题思路：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可证得；

（2）先根据垂径定理，求得AE=2AF=[7/2]；再运用圆周角定理的推论得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，从而可证得∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，根据此关系列方程求解即可得⊙O的直径．

（1）连接AD

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴点D是BC的中点；

（2）∵OF⊥AC于F，AF=[7/4]，

∴AE=2AF=[7/2]

连接BE，

∵AB为直径 D、E在圆上

∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°

∴在△BEC、△ADC中，

∠BEC=∠ADC，∠C=∠C

∴△BEC∽△ADC

即CD：CE=AC：BC

∵D为BC中点

∴CD=[1/2]BC

又∵AC=AB

∴[1/2] BC²=CE•AB

设AB=x，可得 x（x-[7/2]）=2，解得x₁=-[1/2]（舍去），x₂=4．

∴⊙O的直径为4．

点评：

本题考点： 圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，应注意发散思维能力的培养．