已知函数f(logax)=aa2−1(x−x−1),其中a>0且a≠1.

1个回答

  • 解题思路:(1)根据对数式与相应指数式的关系,由函数f(logax)=

    a

    a

    2

    −1

    (x−

    x

    −1

    )

    ,将括号中对应的对数式化为x后,解析式中x要化为ax,求出解析式后,可根据奇偶性的定义及导数法,求出函数的奇偶性和单调性;

    (2)根据(1)中函数的性质,及x∈(-1,1)可将不等式f(1-m)+f(1-m2)<0,化为-1<1-m<1-m2<1,进而得到实数m的取值范围;

    (3)由当x∈(-∞,2)时,f(x)-6的值恒为负数,根据函数的单调性可得f(2)-6≤0整理可得a的取值范围.

    (1)由f(logax)=

    a

    a2−1(x−x−1),得f(x)=

    a

    a2−1(ax−a−x),…2’

    因为定义域为R,

    f(−x)=

    a

    a2−1(a−x−ax)=-f(x)

    所以f(x)为奇函数,…4’

    因为f′(x)=

    a•lna

    a2−1(ax+a−x),

    当0<a<1及a>1时,f′(x)>0,

    所以f(x)为R上的单调增函数;…6’

    (2)由f(1-m)+f(1-m2)<0,得f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),,

    又x∈(-1,1),则-1<1-m<1-m2<1,得1<m<

    2;…10’

    (3)因为f(x)为R上的单调增函数,所以当x∈(0,2)时,f(x)-6的值恒为负数,

    所以f(x)-6<0恒成立,

    则f(2)-6=

    a

    a2−1(a2−a−2)−6≤0,…12’

    整理得a2-6a+1≤0,所以3−2

    2≤a≤3+2

    2,

    又a>0且a≠1,所以实数a的取值范围是[3−2

    2,1)∪(1,≤3+2

    点评:

    本题考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.

    考点点评: 本题是函数奇偶性与单调性的综合应用,特别是后面抽象不等式及恒成立问题,难度较大.