解题思路:(1)根据对数式与相应指数式的关系,由函数f(logax)=
a
a
2
−1
(x−
x
−1
)
,将括号中对应的对数式化为x后,解析式中x要化为ax,求出解析式后,可根据奇偶性的定义及导数法,求出函数的奇偶性和单调性;
(2)根据(1)中函数的性质,及x∈(-1,1)可将不等式f(1-m)+f(1-m2)<0,化为-1<1-m<1-m2<1,进而得到实数m的取值范围;
(3)由当x∈(-∞,2)时,f(x)-6的值恒为负数,根据函数的单调性可得f(2)-6≤0整理可得a的取值范围.
(1)由f(logax)=
a
a2−1(x−x−1),得f(x)=
a
a2−1(ax−a−x),…2’
因为定义域为R,
f(−x)=
a
a2−1(a−x−ax)=-f(x)
所以f(x)为奇函数,…4’
因为f′(x)=
a•lna
a2−1(ax+a−x),
当0<a<1及a>1时,f′(x)>0,
所以f(x)为R上的单调增函数;…6’
(2)由f(1-m)+f(1-m2)<0,得f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),,
又x∈(-1,1),则-1<1-m<1-m2<1,得1<m<
2;…10’
(3)因为f(x)为R上的单调增函数,所以当x∈(0,2)时,f(x)-6的值恒为负数,
所以f(x)-6<0恒成立,
则f(2)-6=
a
a2−1(a2−a−2)−6≤0,…12’
整理得a2-6a+1≤0,所以3−2
2≤a≤3+2
2,
又a>0且a≠1,所以实数a的取值范围是[3−2
2,1)∪(1,≤3+2
点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
考点点评: 本题是函数奇偶性与单调性的综合应用,特别是后面抽象不等式及恒成立问题,难度较大.