解题思路：（I）根据图象关于原点对称得出f（x）为奇函数，从而得出b=d=0，再由x=
1
2]时，f（x）的极小值为-1，建立关于a、c的方程组，解出a、c的值即可得到f（x）的解析式．
（II）若a=b=d=1，则f（x）=x3+x2+cx+1，由题意f'（x）在R上恒为非负或者恒为非正．因此求出导数并利用二次函数的性质建立关于c的不等式，解之即可得到实数c的取值范围．
：（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；
可得f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c
∵当x=[1/2]时，f（x）的极小值为-1，
∴f′(
1
2)=[3a/4]+c=0，且f（[1/2]）=[1/8]a+[1/2]c=-1
解之得a=4，c=-3，得f（x）=4x3-3x
∴所求函数的解析式为f（x）=4x3-3x；
（Ⅱ）∵a=b=d=1，∴f（x）=ax3+bx2+cx+d=x3+x2+cx+1
∵f（x）是R上的单调函数，∴f'（x）在R上恒为非负或者恒为非正
∵f'（x）=3x2+2x+c，
∴△=4-12c≤0，解之得c≥
1
3．可得实数c的取值范围为[[1/3，+∞）
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 本题给出三次多项式函数，研究函数的奇偶性与单调性．着重考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的性质和不等式恒成立等知识，属于中档题．
1年前
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