Question

某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行技术

Answer 1

解法一：设第n年终资金为a_n万元，由题意可得an＝an−1(1+25%)−200(n≥2)⇒an＝

5

4an−1−200，变形整理可得：an−800＝

5

4(an−1−800)，故{a_n-800}构成一个等比数列，a₁=1000（1+25%）-200=1050，⇒a₁-800=250，故an−800＝250(

5

4)n−1⇒an＝250(

5

4)n−1+800＝200×(

5

4)n+800，

令a_n≥4000，得(

5

4)n≥16，两边取对数可得：nlg

5

4≥lg16⇒n≥

4lg2

lg5−2lg2＝

4lg2

1−3lg2≈12，

故至少要12年才能达到目标．

解法二：此题在求通项公式时，也可采用迭代法，

如下：an＝

5

4an−1−200＝

5

4(

5

4an−2−200)−200＝…=1000×(

5

4)n−200×[(

5

4)n−1+(

5

4)n−2+…+1]

=200×(

5

4)n+800；

其余同解法一