六、要验证不定积分等式,最简单的方法就是两边求导,得1/(1+2cosx)^2=[Acosx(1+2cosx)+2A(sinx)^2]/(1+2cosx)^2+B/(1+2cosx),所以1=Acosx(1+2cosx)+2A(sinx)^2+B(1+2cosx),所以A+2B=0,2A+B=1,得A=2/3,B=-1/3.
五、f(x)=F'(x),所以f(x)F(x)是1/2×[F(x)]^2的导数,所以[F(x)]^2的导数就是2(sin2x)^2,所以[F(x)]^2=∫2(sin2x)^2dx=∫(1-cos4x)dx=x-1/4×sin4x+C,再由F(0)=1得C=1.由F(x)≥0,得F(x)=√[x-1/4×sin4x+1],f(x)=F'(x)=(sin2x)^2 / √[x-1/4×sin4x+1].
15、分段积分后,只要保证积分的结果是一个连续函数即可,所以x=0处的左右极限都等于函数值,得C1=C2.x=1处的左右极限都等于函数值,得3/2+C2=1+C3,即C3=1/2+C2.
取C1=C,则C2=C,C3=1/2+C.