Question

设数列{an}：a0=2，a1=16，an+2=16an+1-63an，n∈N*，则a2005被64除的余数为（　　）

Answer 1

解题思路：将a_n+2=16a_n+1-63a_n化为a_n+2-7a_n+1=9a_n+1-63a_n，或a_n+2-9a_n+1=7a_n+1-63a_n，从而根据等比数列的定义可得{a_n-7a_n-1}，{a_n-9a_n-1}是等比数列，然后求出a_n的通项公式，用多项式展开后得出结果．

∵a_n+2=16a_n+1-63a_n，

∴a_n+2-7a_n+1=9a_n+1-63a_n，或a_n+2-9a_n+1=7a_n+1-63a_n

即a_n+2-7a_n+1=9（a_n+1-7a_n），或a_n+2-9a_n+1=7（a_n+1-9a_n），

又∵a₀=2，a₁=16，

∴{a_n-7a_n-1}是首项为2，公比为9的等比数列，

{a_n-9a_n-1}是首项为-2，公比为7的等比数列．

∴a_n+1-7a_n=2•9ⁿ，

a_n+1-9a_n=-2•7ⁿ．

联立上述两式解得，

an＝9n+7n，

a2005＝92005+72005

=（8+1）²⁰⁰⁵+（8-1）²⁰⁰⁵

=2(

C0200582005+

C2200582003+…+8)，

∴上式中除最后一项8之外都是64的倍数，

∴a₂₀₀₅被64除的余数为2×8=16．

故选：C．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题主要考查递推式的转化，等比数列的定义和多项展开式的灵活应用．属于中档题．